GDR 3475 - Analyse Multifractale et Autosimilarité

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Le but du GDR “Analyse Multifractale et Autosimilarité” est de fédérer une communauté scientifique, centrée autour des mathématiques, mais qui comprend des composantes dans d'autres sciences : physique théorique, physique expérimentale, traitement du signal et de l'image, finance, biologie.

Les notions de fractales et d'autosimilarité sont au coeur des préoccupations de ce GDR. L'analyse multifractale vise plus généralement à décrire les propriétés multi-échelles des signaux ou des mesures, en particulier lorsque la régularité varie de point en point. Une multifractale est ainsi une fonction, une mesure, un ensemble ou un processus stochastique (généralement possédant une nature autosimilaire) dont le comportement local varie fortement d'un point à un autre : selon l'endroit où l'on se trouve, on ne voit pas le même fractal.

Ces notions jouent en particulier un rôle particulièrement important dans l'étude des systèmes dynamiques pour des questions très diverses faisant apparaître des comportements asymptotiques qui varient de point en point (sommes de Birkhoff, fonctions zeta dynamiques, notions de dimensions, récurrence, entropie, exposants de Lyapunov, quantités locales, comme l'entropie locale ou la dimension locale d'une mesure invariante, mesures de Bernoulli, mesures de Gibbs, etc). La dynamique symbolique est ainsi un cadre dans lequel la notion d'auto-similarité prend tout son sens : citons ainsi l'étude des systèmes substitutifs, la dynamique des espaces de Cantor ou des espaces de pavages, les automates cellulaires (déterministes et probabilistes), l'ordre apériodique et les quasi-cristaux, les fractions continues et la renormalisation, les groupes autosimilaires, les systèmes dynamiques de nature arithmétique dont les systèmes de numération pour des paramètres algébriques (cadre Pisot), etc…


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